キュムラント展開

メモです。

ある確率変数の積率母関数とキュムラント母関数は以下の様に定義される。

\begin{equation}
M_X(t) = E[e^{t X}]
\end{equation}

\begin{equation}
C_X(t) = \log M_X(t)
\end{equation}

従って、マクローリン展開を用いると以下の式が得られる。

\begin{eqnarray}
C_X(t) &= \sum^{\infty}_{n = 0} \frac{1}{n!} \frac{d^n C_X(t)}{d t^n} t^n \\
&= \sum^{\infty}_{n = 0} \frac{c_n}{n!} t^n \tag{a}
\end{eqnarray}
ここで、であり、これを次のキュムラントと呼ぶ。

この時、以下の式が成り立つ。

\begin{equation}
\label{eq:goal}
\begin{split}
・\nu_1 &= c_1\\
・\nu_2 &= c_1^2 + c_2\\
・\nu_3 &= c_1^3 + 3c_1 c_2 + c_3^3
\end{split}
\end{equation}
ここで、] であり、つまり次のモーメントである。

証明

定義より

\begin{equation}
\label{eq1}
\begin{split}
M(t) &= \int^{\infty}_{-\infty} e^{tx} f_X{t}dx \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} \sum^{\infty}_{m = 0} \frac{(t x)^m}{m!}f_X(x) dx \\
&= \sum^{\infty}_{m = 0} \frac{t^m}{m!} \int^{\infty}_{-\infty} x^m f_X(x) dx \\
&= \sum^{\infty}_{m = 0} \frac{t^m}{m!} \nu_m
\end{split}
\end{equation}
（積分と無限級数の交換を行っている（若干怪しい））

また、より

\begin{eqnarray}
M_X(t) &= \sum^{\infty}_{m = 0} \frac{C_X(t)}{n!} \tag{b}
\end{eqnarray}
(a)式を代入する。また、であるので

\begin{eqnarray}
M_X(t) &= \sum^{\infty}_{m = 0} (\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{c_n}{n!} t^n) \\
&= 1 + c_1 t + (\frac{1}{2} c_1^2 + \frac{1}{2} c_2) t^2 + (\frac{1}{6} c_1 ^ 3 + \frac{1}{2} ・2 c_1 ・\frac{1}{2} c_2 + \frac{1}{6}c_3) t^3 + \dots \\
&= 1 + c_1 t + \frac{1}{2!} (c_1^2 + c_2) t^2 + \frac{1}{3!}(c_1 ^ 3 + 3 c_1 c_2 + c_3) t^3 + \dots \tag{c}
\end{eqnarray}
となる。（無限級数の順番を変えてる、また怪しい）

従って、(b), (c)式で係数比較を行うと題意は示せる。

結果は間違いないのですが、証明が怪しさ満点になってしまいました。
時間があれば今度ちゃんと示そう。。